カイ2乗検定の自由度って，どうして(r-1)×(c-1)になるの？

以下のPDFファイル（35頁，862KB, Google Drive）にて，カイ2乗検定の自由度が，一元表のときはr-1，二元表のときは(r-1)×(c-1)になる理由を考えてみました．

まあ，よく知られたことだとは思いますが...
既存の文献はあまり確認していません...
きっと，もっと短く説明できるのでしょけれども...無駄に長い...
どなたか綺麗な説明をお願いいたします...